สมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง   หมายถึง  สมการที่เขียนในรูป   ax² + bx + c = 0   เมื่อ  a, b, c  เป็นค่าคงตัว  และ  a  ไม่เท่ากับ  0

บทนิยามของสมการกำลังสอง

1. สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น  ax² + bx + c = 0  เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ทำได้โดยอาศัยการแยกตัวประกอบ หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b 
ตัวอย่าง         จงหาคำตอบของสมการ   x² – 32x + 31   =   0

                            x² – 32x + 31              =          0

                            ( x²– 31 ) ( x – 1 )       =          0

      ดังนั้น      x – 31      =    0              หรือ         x – 1    =    0

                             x       =    31            หรือ               x    =    1

      คำตอบของสมการคือ  31 และ 1

ตัวอย่าง          จงหาคำตอบของสมการ   x²+ 5x + 6   =   0

                              x² + 5x + 6                =       0

                             ( x + 2 ) ( x + 3 )        =       0

       ดังนั้น      x + 2    =    0                 หรือ         x + 3    =    0

                              x    =    -2               หรือ               x    =    -3

       คำตอบของสมการคือ  -2 และ -3

2. ในการแก้สมการบางครั้ง ถ้านำค่าคงตัวมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการ จะช่วยให้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบของสมการทำได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง                จงแก้สมการ     -6x² + 12x – 6   =   0

 -6x² + 12x – 6      =   0

นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้

x²– 2x + 1             =    0

( x – 1 ) ( x – 1 )    =   0

ดังนั้น   x – 1    =    0

      x     =    1

คำตอบของสมการคือ 1

 ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ      1.5x²       =    7.7x - 1

              1.5x² -  7.7x + 1      =      0

นำ 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ  จะได้

                                 15x² – 77x + 10           =    0

                                ( 15x – 2 ) ( x - 5 )        =    0

                        ดังนั้น  15x – 2 = 0  หรือ  x – 5 =  0

                                x =  เศษ 2 ส่วน 15 หรือ 5

                        คำตอบของสมการคือ  เศษ 2 ส่วน 15 และ 5

3. การหาคำตอบของสมการกำลังสองในรูป  ax² + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณี c มีค่าเป็น 0 ใช้สมบัติการแจกแจง

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ         15x² – 10x   =   0

                                   15x² – 10x           =     0

                                                           5x² ( 3x – 2 )        =    0

       ดังนั้น   5x  =  0  หรือ  3x  – 2 =  0

                      x  =  0  หรือ  x =  เศษ 2 ส่วน 3

        คำตอบของสมการคือ  0 และ เศษ 2 ส่วน 3

4. การหาคำตอบของสมการกำลังสอง ในรูป ax + bx + c = 0 เมื่อ a , b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณีที่ c มีค่าเป็น 0 การแก้สมการกำลังสองที่ได้รูปทั่วไปเป็น 

x² = c  เมื่อ c > 0  ;   x² – c = 0

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ    x²  – 169   =   0

                                                    x² -  13²                  =      0

                                          ( x – 13 ) ( x + 13 )    =     0

          ดังนั้น      x – 13 = 0    หรือ   x + 13      =     0

                                 x = 13   หรือ   x = -13

          คำตอบของสมการคือ  13 และ -13

 ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ  4x²   =   16

                                                 4x²  - 16     =      0

                                                ( 2x )² – 4²  =      0

                                  ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 )   =      0  

                ดังนั้น    2x  – 4  =  0   หรือ   2x + 4   =  0

                      x = เศษ 4 ส่วน 2   หรือ   x =   - เศษ 4 ส่วน 2

                                         x = 2   หรือ   x = -2

                คำตอบของสมการคือ  2 และ -2

5. การแก้สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น   x² = c เมื่อ  c > 0

ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ    ( 2x – 3 )²     =     16

                                               ( 2x  - 3 )²  - 16            =       0

                        ( 2x  - 3 )²  - 4²                  =      0

                                     ( 2x – 3 – 4 ) ( 2x – 3 + 4 )    =      0

                                                ( 2x + 1 ) ( 2x– 7 )      =      0

ดังนั้น            2x + 1 = 0   หรือ   2x – 7   = 0

                                      2x  = -1   หรือ   2x   =  7

                     x = - เศษ 1 ส่วน 2   หรือ  x = เศษ 7 ส่วน 2

คำตอบของสมการคือ  - เศษ 1 ส่วน 2  และ เศษ 7 ส่วน 2

การแก้สมการกำลังสอง
1. โดยวิธีแยกตัวประกอบ
            สมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง
            ( x - 3 ) ( x + 4 )   =   0
            ดังนั้น   x - 3  =  0   หรือ  x + 4 =  0

                              x  =  3   หรือ  x  =  -4

            x    =   3 , -4

ตัวอย่าง
            ( 2x - 5 ) ( 3x - 6 )   =   0
            ดังนั้น   2x - 5  =  0   หรือ  3x - 6  =  0
              x  =  เศษ 5 ส่วน 2   หรือ   x  =  เศษ 6 ส่วน 3 
                             x  =  5/2   หรือ    x  =  2
            x = 5/2 , 2

2. โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
            การแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงตัวและ a ไม่เท่ากับ 0 โดยจัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
            จากการแก้สมการ เราใช้วิธีทำทางขวามือของสมการให้เท่ากับ 0 และทางซ้ายมือของสมการ เราพยายามทำให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบกำลังหนึ่ง โดยวิธีแยกตัวประกอบ แต่บางครั้งการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือของพหุนาม คำตอบจะอยู่ในรูปที่สลับซับซ้อนมาก จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการหาคำตอบ 

ตัวอย่าง
            จงแก้สมการ   x2 + 2x + 3  =  0
                                                  x2 + 2x + 3   =  0
                                    x2+ 2x + 12 - 12 + 3   =  0
                                          ( x + 1 )2 - 1 + 3   =  0
                                                 ( x + 1 )2 + 2  =  0
      เนื่องจาก ( x + 1 )2 > 0 เสมอ ดังนั้น ( x + 1 )2 + 2 > 0 เสมอ
      แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้ ( x + 1 )2 + 2 = 0
     สรุป ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

หลักในการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
            1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0
            2 .กรณีที่ a ไม่เท่ากับ 1 ให้นำ a หารตลอด
            3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
            4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจาก ข้อ 3 โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ
            5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่าของตัวแปร

3. โดยใช้สูตร 
-  ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมี 2 คำตอบ
-  ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมีเพียงคำตอบเดียว
-  ถ้า b2- 4ac < 0 คำตอบของสมการดังกล่าวจะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

  ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร  

ที่มาเนื้อหา :  http://math.thepbodint.ac.th/topmenu.php?c=listknowledge&q_id=48  

ที่มาวีดีโอ : http://www.youtube.com/watch?v=KxwYexVhxXU

                                                                                                               วันที่ 13 กันยายน 2556

รูปเรขาคณิตสองมิติ

รูปเรขาคณิตสองมิติ

 แบ่งออกเป็น 4 ชนิด คือ รูปสี่เหลี่ยม  , รูปสามเหลี่ยม ,  รูปวงกลม และรูปหลายเหลี่ยม

ซึ่งมีลักษณะดังต่อไปนี้

1 .  รูปสี่เหลี่ยม

        รูปสี่เหลี่ยม คือ รูปปิดที่มี 4 ด้าน 4 มุม 

        ชนิดของรูปสี่เหลี่ยม แบ่งเป็น 6 ชนิด คือ

       1.1.        รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก  คือ   รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

       1.2.        รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า  คือ   รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน แต่ด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน

        1.3.        รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส   คือ   รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉากมีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน

        1.4.        รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน   คือ  รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมไม่เป็นมุมฉาก มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน และขนานกันสองคู่

        1.5.        รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน  คือ  รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้านยาวเท่ากัน แต่มุมทุกมุมไม่เป็นมุมฉาก

        1.6.        รูปสี่เหลี่ยมคางหมู   คือ  รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกัน  เพียงคู่เดียว 

2 .  รูปสามเหลี่ยม

        รูปสามเหลี่ยมคือรูปปิด ที่มี 3 ด้าน 3 มุม  โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา

        ชนิดของรูปสามเหลี่ยม แบ่งเป็น 2 ลักษณะ คือ  - แบ่งตามลักษณะของด้าน

                                                                                    - แบ่งตามลักษณะของมุม  

       2.1.    แบ่งตามลักษณะของด้าน แบ่งได้ 3 ชนิด คือ

            2.1.1     รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า   คือ  รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน

            2.1.2     รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า  คือ  รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาวไม่เท่ากันเลย

            2.1.3     รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว   คือ   รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน

      2.2.    แบ่งตามลักษณะของมุม มี 3 ชนิด คือ                                                          

            2.2.1     รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม

            2.2.2     รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมฉาก

            2.2.3     รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมป้าน

3 .  รูปวงกลม

        รูปวงกลม คือ รูปบนระนาบ ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่มีระยะห่างจากจุดคงที่ ภายในจุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน เส้นโค้งขอบของรูปวงกลม เรียกว่า เส้นรอบรูปวงกลม หรือ เส้นรอบวง    จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง

        ส่วนประกอบของรูปวงกลม

            1.       จุดศูนย์กลาง   คือ   จุดคงที่อยู่ตรงกลางของรูปวงกลมซึ่งอยู่ห่างจากเส้นรอบวงเป็นระยะเท่ากัน

            2.        เส้นผ่านศูนย์กลาง เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงด้านหนึ่งผ่านจุดศูนย์ไปยังอีกจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง

            3.        เส้นรอบวง   เป็นเส้นขอบของรูปวงกลมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

            4.        รัศมี   เป็นระยะห่างระหว่างจุดศูนย์และเส้นรอบวงของรูปวงกลม

            5.        คอร์ด   เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านไปยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คอร์ดที่ยาวที่สุด คือเส้นผ่านศูนย์กลาง

 4 .  รูปหลายเหลี่ยม

           รูปหลายเหลี่ยม  คือ  รูปที่ปิดล้อมไปด้วยด้าน ตั้งแต่ 3 ด้านขึ้นไป มีจำนวนมุมเท่ากับจำนวนด้าน

ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยม ได้แก่   รูปสามเหลี่ยม  รูปสี่เหลี่ยม  รูปห้าเหลี่ยม  รูปหกเหลี่ยม  รูปเจ็ดเหลี่ยม  และอีกมากมาย....

 มาทำความรู้จักรูปเรขาคณิตสองมิติกันนะ 

ที่มาเนื้อหา :  https://sites.google.com/site/nisakongrampung/rup-rekhakhnit-sxng-miti
ที่มาวีดีโอ : http://www.youtube.com/watch?v=8Mno2aXDWuM   วันที่ 14 กันยายน 2556

สูตรการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต

สูตรการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตต่างๆ

1. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

2. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

3. สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง

4. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

5. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง

6. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

7. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = 1/2 x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง

8. สูตรการหาพื้นที่วงกลม = พาย x รัศมี²




สูตรการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปเรขาคณิตต่างๆ

ปริซึม
พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน x ความสูง
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x ความสูง

พีระมิด
พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1/2 x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง
ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 x พื้นที่ฐาน x สูงตรง

ทรงกระบอก
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2¶r² หรือ 2¶r(h + r)
เมื่อ r เป็นรัศมีของทรงกระบอก และ h เป็นความสูงของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r²h

กรวย
พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r2 หรือ ¶r(l + r)
เมื่อ r เป็นรัศมีของกรวย และ l เป็นความสูงเอียงของกรวย
ปริมาตรของกรวย = 1/3¶r²h

ทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r2

ปริมาตรของทรงกลม = 4/3¶r³

  พื้นที่ผิวและปริมาตร ตอนที่ 1  

ที่มาของสูตร : http://www.eduktc.com/main.php?inc=chap&chid=332 

ที่มาวีดีโอตัวอย่าง : http://www.youtube.com/watch?v=pw6KV5Tb210 

                                                                                            วันที่ 16 กันยายน 2556